关于罗巴赫流形上非平凡零模态存在性的注记

我们证明了在闭合或有界几何的罗巴赫流形上，关于 Dirac 方程 $D\psi=i A \cdot_{Cl} \psi$ 的非平凡解（非）存在性的必要条件。这概括了鲁珀特·弗兰克和迈克尔·洛斯关于 $\mathbb{R}^n$ 上的结果，其中该条件将 $A$ 的 $L^n$ 范数与 $\mathbb{R}^n$ 上的 Sobolev 常数联系起来。在罗巴赫流形上，Sobolev 常数的作用将被取代为 Yamabe 不变量。如果 $n$ 为奇数，我们展示了该条件在 $\mathbb{S}^n$ 上是尖锐的。