关于 ${\mathrm{gl}}(n,{\mathbb{R}})$ 上与 Toda 格相关的二次泊松括号的注记

众所周知，完全对称与标准开 Toda 格的相容线性与二次泊松括号是结合代数 ${\mathrm{gl}}(n,{\mathbb{R}})$ 上线性与二次 $r$-矩阵泊松括号的限制。我们在此证明，对应于将 ${\mathrm{gl}}(n,{\mathbb{R}})$ 拆分为上三角与正交李子代数的直和的 $r$-矩阵所定义的 ${\mathrm{gl}}(n,{\mathbb{R}})$ 上的二次括号，可通过泊松约化从余切丛 $T^*{\mathrm{GL}}(n,{\mathbb{R}})$ 上的二次泊松结构下降得到。这补充了将线性 $r$-矩阵括号解释为余切丛典范泊松括号之约化的理解。