关于无限反链密度的一个注记

设 $\mathcal{F}$ 为 $\mathbb{N}$ 有限子集的一个反链。当 $n\to\infty$ 时，量 $|\mathcal{F}\cap 2^{[n]}|$ 能增长多快？我们证明，对于任意满足 $\sum_{n=n_0}^\infty f_n/2^n \le 1/4$、$f_{n_0}=1$ 且 $f_n\le f_{n+1}\le 2f_n$ 的正整数列 $(f_n)_{n\ge n_0}$，存在一个 $\mathbb{N}$ 有限子集的无限反链 $\mathcal{F}$，使得对所有 $n\ge n_0$ 有 $|\mathcal{F}\cap 2^{[n]}| \geq f_n$。由此推出，对任意 $\varepsilon>0$，存在反链 $\mathcal{F}\subseteq 2^\mathbb{N}$ 使得 $$\liminf_{n \to \infty} |\mathcal{F}\cap 2^{[n]}| \cdot \left(\frac{2^n}{n\log^{1+\varepsilon} n}\right)^{-1} > 0.$$ 这以强形式解决了 Sudakov、Tomon 和 Wagner 的一个问题，并且本质上是最优的。