关于 Dehn 着色与不变量因子的注记

若 $A$ 是一个阿贝尔群且 $\phi$ 是一个整数，令 $A(\phi)$ 为 $A$ 中由满足 $\phi \cdot a=0$ 的元素 $a \in A$ 组成的子群。我们证明：若 $D$ 是经典链环 $L$ 的一个图，且 $0=\phi_0,\phi_1,\dots,\phi_{n-1}$ 是 $D$ 的一个调整后 Goeritz 矩阵的不变量因子，则以 $A$ 为取值的 $D$ 的 Dehn 着色群 $\mathcal{D}_{A}(D)$ 同构于 $A$ 与 $A=A(\phi_{0}),A(\phi_1),\dots,A(\phi_{n-1})$ 的直积。由此推得，$L$ 的 Dehn 着色群同构于环面链环的连通和 $T_{(2,\phi_1)} \text{ } \# \text{ } \cdots \text{ } \# \text{ } T_{(2,\phi_{n-1})}$ 的相应群。