平面墙定理的新证明

我们给出了 Robertson 和 Seymour 的排除团 minor 定理的一个较弱形式的初等且自包含的证明，并提供了数值改进，该形式如下：设 $t,r>0$ 为整数，令 $R=49152t^{24}(40t^2+r)$。$r$-墙是通过从 $(2r \times r)$-网格中删除每一奇数行的每条奇数垂直边和每一偶数行的每条偶数垂直边，然后删除由此产生的两个度为 1 的顶点，最后任意细分边而得到的。细分前存在的度为 2 的顶点称为 $r$-墙的桩 (pegs)。设 $G$ 是一个无 $K_t$ minor 的图，且 $W$ 是 $G$ 中的一个 $R$-墙。我们证明存在 $V(G)$ 的一个大小至多为 $12288t^{24}$ 的子集 $A$ 以及 $W$ 的一个 $r$-子墙 $W'$，使得 $V(W')$ 与 $A$ 不相交，且 $W'$ 是 $G-A$ 中的平面墙，其含义如下：存在 $G-A$ 的一个分离 $(X,Y)$，使得 $X\cap Y$ 是界定 $W'$ 外表面的圈 $C'$ 的顶点集的子集，$V(W')$ 是 $Y$ 的子集，$W'$ 的每个桩都属于 $X$，且图 $G[Y]$ 几乎可以画在单位圆盘内，其中顶点 $X\cap Y$ 按 $C'$ 确定的顺序画在圆盘边界上。这里的“几乎”意味着在反复移除被大小至多为 3 的割集 $Z$ 与 $X\cap Y$ 分离的图的部分，并添加两端均在 $Z$ 中的所有边之后，该断言成立。我们的证明产生了一种算法，即使 $r$ 和 $t$ 作为输入实例的一部分，该算法也能在多项式时间内运行。该证明是自包含的，因为它仅使用了其证明可在教科书中找到的结果。