利用方阵探测 KAM 环面存在边界的新方法

系统的非线性动力学可利用方阵进行分析。若非共振，方阵左特征空间中 Jordan 链的首向量在足够高的幂次下是精确的作用-角变量。作用-角变量偏离常数的程度提供了轨迹稳定性的度量。然而，在共振附近或稳定性边界附近，涨落迅速增大，首向量不再代表精确的作用-角变量。本文表明，在共振附近或稳定性边界附近，可通过迭代过程找到退化 Jordan 链中向量的一组线性组合作为作用-角变量，使涨落最小化。以 Henon-Heiles 问题作为共振示例，我们表明与传统正则微扰理论相比，该迭代得到的结果与正向积分更为吻合，且即使在非常接近稳定性边界时迭代仍收敛。进一步表明，迭代中找到的作用-角变量可用于求得另一组更接近刚性旋转（KAM 不变量）的作用-角变量。该快速收敛结果并非多项式形式，而是指数为有理函数的指数函数，较泰勒级数更类似洛朗级数。因此该方法提供了一种探测 KAM 环面存在区域边界的新途径。