研究椭圆半线性方程的一种新方法

本文定义了一个新算子 $J$，用于研究 $$\Delta u +f(u)=0,\quad x\in R ^N, N> 2.$$ 利用 $J$，我们可以容易地观察解的一些定性性质，例如可以确定 $u$ 改变符号的次数、局部极大值和极小值的值，以及 $u$ 改变凹性的位置。我们还利用该泛函构造非线性项 $f$，使得该问题对于 $j=1,\dots,k-1$ 至少有两个改变符号 $j$ 次的束缚态解。并构造另一个 $f$，使得该问题具有唯一的基态解，以及至少两个改变符号一次的束缚态解。