通过最大公约数研究奇完全数的一种新方法

设 $q^k n^2$ 是一个具有特殊素数 $q$ 的奇完全数。定义最大公约数 $$G = \gcd\bigg(\sigma(q^k),\sigma(n^2)\bigg)$$ $$H = \gcd\bigg(n^2,\sigma(n^2)\bigg)$$ 以及 $$I = \gcd\bigg(n,\sigma(n^2)\bigg).$$ 我们证明 $G \times H = I^2$。（注意，显然有 $G \mid I$ 与 $I \mid H$ 均成立。）随后我们用 $\sigma(q^k)/2, n,$ 以及 $\gcd\bigg(\sigma(q^k)/2,n\bigg)$ 表示出 $G, H,$ 和 $I$ 的表达式。之后我们证明若 $G = H = I$，则 $\sigma(q^k)/2$ 不是无平方因子的。进一步推导了其他自然且相关的结果。最后，我们猜想集合 $$\mathscr{A} = \{m : \gcd(m,\sigma(m^2))=\gcd(m^2,\sigma(m^2))\}$$ 的渐近密度为 0。