关于演化偏微分方程在有限区间上的分析的新方法

我们表明，对于某些演化偏微分方程，其在有限区间 $(0,\ell)$ 上的解可以重构为两个在半线 $(0,\infty)$ 和 $(-\infty,\ell)$ 上求解的相关偏微分方程解在该区间上的限制的叠加。确定这些半线问题的适当数据相当于求解一个逆问题，我们通过福卡斯统一变换（也称为福卡斯方法）来构建该问题，并通过 $L^2$ 基希洛夫空间中的固定点论进行求解，包括通过插值技术处理分数次希洛夫空间。我们通过两个标准例子——热方程和科尔特韦-德 V 方程（KdV 方程），并对前者提供数值模拟来说明该方法。我们进一步演示，新方法适用于更一般的演化偏微分方程，包括时变系数的方程。本工作的关键结果是，可以直接从半线上的相应估计推导出有限区间问题的空间和时间正则性估计。这些结果反过来可用于在相关非线性问题中建立局部良好可塑性，因而必需的线性估计正是非线性框架中的关键要素。