高阶$G$-变换的一种新算法

设标量 $A^{(j)}_n$ 由线性方程定义：$$A_l=A^{(j)}_n+\sum^n_{k=1}\bar{\alpha}_ku_{k+l-1},\ \ l=j,j+1,\ldots,j+n\ .$$ 此处 $A_i$ 与 $u_i$ 已知，$\bar{\alpha}_k$ 为附加未知量，而关注量为 $A^{(j)}_n$。例如，当利用Gray、Atchison和McWilliams的高阶$G$-变换计算无穷区间积分时会出现此问题。计算 $A^{(j)}_n$ 的一种高效流程是Pye和Atchison的rs算法。在本工作中，我们开发了另一种结合Ford和Sidi的FS算法与Rutishauser的qd算法的流程，并将其记为FS/qd算法。我们证明FS/qd算法比rs算法具有更少的操作计数。我们还证明FS/qd算法也可用于实现Shanks变换，并且与通常用于此目的的Wynn的$\varepsilon$-算法相比极具优势。