有理函数若干经典不等式的模型空间方法

我们考虑次数至多为 $n\geq1$ 且在单位圆周 $\mathbb{T}$ 上无极点的有理函数集 $\mathcal{R}_{n}$，及其子类 $\mathcal{R}_{n,\, r}$，后者由在环形区域 $\left\{\xi:\; r\leq|\xi|\leq\frac{1}{r}\right\}$ 内无极点的有理函数组成。我们讨论一种基于模型空间理论的方法，该方法为 $\mathcal{R}_{n}$ 中的函数及其导数提供了一些积分表示。利用此方法，我们获得了有理函数若干经典不等式的 $L^{p}$-类比，包括 P. Borwein 和 T. Erd\'elyi 的不等式、Spijker 引理以及 S.M. Nikolskii 不等式。研究表明，当 $n$ 趋于无穷大且有理函数的极点趋近于单位圆周 $\mathbb{T}$ 时，这些不等式是渐近尖锐的。