高维、更高维乃至极高维矩阵的一种测度集中效应

设 $n>m$，且 $A$ 为满秩的 $(m\times n)$ 矩阵。显然，对于 $x$ 与 $Ax$ 的欧氏范数以及作为指定矩阵范数的谱范数，估计式 $\|Ax\|\leq\|A\|\|x\|$ 成立。我们研究所有满足对固定 $\delta<1$ 反向成立 $\|Ax\|\geq\delta\,\|A\|\|x\|$ 的 $x$ 的集合。结果表明，在高维情形下，一旦 $\delta$ 低于一个依赖于 $A$ 的极值奇异值及维数之比的界限，这些集合就几乎填满整个空间。该效应与在数据科学中起重要作用的随机投影定理密切相关。作为副产品，我们精确计算了該定理所涉及的相应概率。