高维$p$-范数

设$\bX=(X_1, \hdots, X_d)$为一个具有独立同分布分量的$\mathbb R^d$值随机向量，令$\Vert\bX\Vert_p= (\sum_{j=1}^d|X_j|^p)^{1/p}$为其$p$-范数，其中$p>0$。让$d$趋于无穷大对$\Vert\bX\Vert_p$的影响会产生令人惊讶的后果，这可能极大地影响高维数据处理。这种效应在计算学习文献中通常被称为{\it距离集中现象}。尽管人们对这一重要问题的兴趣日益浓厚，但先前的工作基本上是通过数值实验和不完整的数学陈述来刻画该问题。在本文中，我们巩固了文献中先前出现的一些论点，并对该现象提供了新的见解。