扩展哈密顿量的矩阵因式分解导出 $N$ 粒子 Pauli 方程

本文中将线性化 Schrödinger 方程以获得单粒子 Pauli 方程的 Levy-Leblond 过程推广到获得含自旋的 $N$ 粒子方程。这是通过使用更普遍的矩阵因式分解 $G\tilde{G} = |G| I = (-K)^l I$ 实现的。此处方阵 $G$ 在总能量 E 与所有动量中是线性的，$\tilde G$ 是 $G$ 的伴随矩阵，$I$ 是单位矩阵，$|G|$ 是 $G$ 的行列式，$l$ 是正整数且 $K=H-E$ 是 Lanczos 扩展哈密顿量，其中 $H$ 是机电系统的经典哈密顿量。对所有此类系统 $K$ 恒为零，故矩阵 $G$ 是奇异的。因此总存在一个向量函数 $\underline\theta$ 满足 $G\underline\theta=0$。首先针对简单势阱中一维粒子说明了该获得矩阵 $G$ 与向量函数 $\underline\theta$ 的因式分解。当将同一技术应用于电磁场中 $N$ 个相互作用粒子的经典非相对论哈密顿量时，对 N=1 可得到含自旋的 Pauli 波动方程及其对 $N$ 粒子的推广。最后将此 Pauli 方程的非相对论推广用作两粒子含自旋问题来处理类氢原子的简单塞曼效应。