E6 大统一理论的数学构造

在五个例外群中，$\mathrm{E}_6$ 因以下原因被视为最吸引人的统一群：(i) 它同时包含 $\mathrm{Spin} (10) \times \mathrm{U}(1)$ 与 $\mathrm{SU} (3) \times \mathrm{SU}(3) \times \mathrm{SU}(3)$ 作为极大子群，二者均容许标准模型的嵌入；(ii) 在例外群中独有地容许复表示；特别地，其 27 维基本表示在通常电荷指派下容纳一代左手费米子；(iii) 其所有表示均无反常。在本篇以 Baez 与 Huerta 的《大统一理论的代数》精神写就的硕士论文中，我们严格展示了 $\mathrm{E}_6$ 大统一理论是如何数学构造的。我们对文献的微小贡献包括显式验证同态 $\mathrm{Spin} (10) \times \mathrm{U}(1) \to \mathrm{E}_6$ 的 $\mathbb{Z}_4$ 核在每一个费米子上平凡作用；我们还使用不同于通常 Dynkin 图的方法表述对称性破缺，特别是奇异 $\mathrm{E}_6$ 费米子在 $\mathrm{Spin} (10) \to \mathrm{SU}(5)$ 下的对称性破缺：我们显式嵌入 $\mathfrak{su}(5) \hookrightarrow \mathfrak{so}(10) \cong \mathfrak{spin} (10)$ 并求解相关特征值问题。文中也讨论了大统一理论的现象学方面。