$\chi (\mathcal O_S)$ 的下界

设 $(S,\mathcal L)$ 为一个光滑、不可约、射影复曲面，由次数 $d > 25$ 的极为丰富线丛 $\mathcal L$ 极化。本文我们证明 $\chi (\mathcal O_S)\geq -\frac{1}{8}d(d-6)$。该界是尖锐的，且 $\chi (\mathcal O_S)=-\frac{1}{8}d(d-6)$ 当且仅当 $d$ 为偶数，线性系统 $|H^0(S,\mathcal L)|$ 将 $S$ 嵌入到 $\mathbb P^5$ 中三维光滑有理正规滚动面 $T\subset \mathbb P^5$ 中，并且此处作为除子 $S$ 线性等价于 $\frac{d}{2}Q$，其中 $Q$ 是 $T$ 上的一个二次曲面。此外，这等价于如下事实：$S$ 的一般超平面截影 $H\in |H^0(S,\mathcal L)|$ 是从点 $x\in V\backslash C$ 出发对包含在Veronese曲面 $V\subseteq \mathbb P^5$ 中的曲线 $C$ 的投影。