包含测度von Neumann代数嵌入的局部量化原理

我们研究了包含测度von Neumann代数嵌入的局部量化原理（后Sorin Popa\cite{popa 94}和\cite{popa 95}）。设(\mathcal{M},\tau)为类型${\rm II}_1$von Neumann代数，$\mathcal{N}\subseteq\mathcal{M}$为类型${\rm II}_1$von Neumann子代数。设$x_1,\ldots, x_m \in\mathcal{M}$且$\epsilon> 0$。则存在将1划分的投影$p_{1}, \ldots, p_{n}$在$\mathcal{N}$中，使得[\|\sum_{i=1}^n p_{i}\left(x_j-E_{\mathcal{N}'\cap \mathcal{M}}(x_j)\right)p_{i}\|_{2}<\epsilon，1\leq j\leq m。特别地，如果$\mathcal{N}\subseteq\mathcal{M}$是类型$\rm II_{1}$因子的嵌入且$[\mathcal{M}:\mathcal{N}]=2`，则对于任意$x_{1},\ldots, x_{m}\in\mathcal{M}$，存在将1划分的投影$p_{1}, \ldots, p_{n}$在$\mathcal{N}$中，使得[\sum_{i=1}^n p_ix_jp_i=\tau(x_j)1, \quad 1\leq j\leq m。等价地，存在算子$u\in\mathcal{N}$使得[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nu^{*i}x_j u^i=\tau(x_j)1, \quad 1\leq j\leq m。