弱ω-范畴的同伦论

本文考虑最初由Cisinski和Joyal猜想给出弱ω-范畴同伦论模型的细胞集范畴上的模型结构。我们首先证明，任何包含脊柱包含映射(ι: Sp[t] ↪ Θ[t])的Θ-局部化子也必须包含映射(X×ι: X×Sp[t] ↪ X×Θ[t])，其中[t]是Θ的任意对象，X是任意细胞集。这特别意味着，细胞集S关于脊柱包含映射集是局部的当且仅当它是笛卡尔局部的。然而，我们证明包含脊柱包含映射的最小局部化子在两点悬挂下不稳定，这意味着该模型结构的纤维化对象之间的等价仅依赖于它们的第0层和第1层结构。然后我们尝试采用类似于Rezk的方法，即考虑点嵌入到自由同构的所有悬挂。我们将该模型结构的纤维化对象称为同构稳定Joyal纤维化细胞集。我们理解，由此产生的模型结构被一些数学家猜想为给出弱ω-范畴范畴的模型结构。然而，我们通过构造一个非平凡的可缩余纤维化严格ω-范畴（关于folk模型结构）的具体例子，并证明它首先不是平凡纤维化的，其次证明它关于同构稳定Joyal模型结构是纤维化的，从而迅速否定了这一论断。最后，我们推测了几种可能构造确实具有我们期望性质的局部化子的方法，将这个问题留待未来修订。