一种计算 $\mathbb{Q}(i)$ 上椭圆曲线 $y^2 = x^3 + bx$ 的 Selmer 群的图论方法
数论
2025-06-24 v2
摘要
我们开发了一种图论算法来计算 上椭圆曲线 的 -Selmer 群，其中 且 是 的一个 2 次同源。我们将一个加权图 关联到 ，其顶点是整除 的奇高斯素数，其边权重由这些素数对之间的四次剩余符号决定。通过应用我们的算法，我们显式计算了当 是惰性素数之积时 的 -Selmer 群，并构造了几个 Mordell-Weil 秩平凡的 上椭圆曲线的无穷族。
引用
@article{arxiv.2410.22714,
title = {A graph-theoretic approach to computing Selmer groups of elliptic curves $y^2 = x^3 + bx$ over $\mathbb{Q}(i)$},
author = {Anthony Kling and Ben Savoie},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.22714},
year = {2025}
}
备注
Updated title. 26 pages, 1 figure. Improved exposition and corrected typos throughout. Major additions include the mod 2 reduction of the graph $G_b$, an explicit calculation of the $\varphi$-Selmer group when $b$ is a product of inert primes, and two new infinite families of elliptic curves over $\mathbb{Q}(i)$ with trivial rank