比较经典场论与偏微分方程间转移解的几何框架
数学物理
2024-03-28 v3 math.MP
摘要
在本贡献中，构建了一个数学框架，用于在光滑流形范畴中关联和比较非线性偏微分方程（PDEs）。特别地，它可用于比较那些由此类方程描述的场论（例如经典（牛顿）力学、流体动力学、电动力学、相对论、经典杨-米尔斯理论等）的方面。采用几何（喷射空间）方法，确定了两个 PDE 系统的共享结构的合适概念。证明了该共享结构可用于将解从一个理论转移到另一个理论，并推导了所谓 Bäcklund 变换的推广，可用于生成某些非线性 PDE 的非平凡解。引入了一种（基于形式可积性）程序，可显式计算两个 PDE 系统在给定对应下共享结构所需满足的最小相容条件。此外，展示了如何利用对称群识别有用的对应以及直至对称所共享的结构。由此澄清了 Bäcklund 变换在商方程理论中的作用。显式例子贯穿全文说明一般思想，并在最后一章将该框架应用于与电动力学和流体动力学相关的系统。
引用
@article{arxiv.1910.08614,
title = {A geometric framework to compare classical field theories and to transfer solutions between PDEs},
author = {Lukas Silvester Barth},
journal= {arXiv preprint arXiv:1910.08614},
year = {2024}
}
备注
Several results in the previous version were generalized. Most importantly, the approach now allows for a generalization of B\"acklund transformations whose inclusion allows for a much more powerful transfer of solutions