Schaefer 的 Cosserat 固体理论的几何表述

Cosserat 固体是一种连续介质的理论模型，其基本组分为假想刚体。在此我们受 Schaefer 的“motor field”理论启发，以现代微分几何与外微积分的语言给出 Cosserat 固体力学的表述。该固体被建模为主纤维丛，构型通过各组分平移与旋转相关联。这一运动学性质由丛映射以坐标无关方式描述。若该丛映射为全局欧氏等距，则构型等价。表示固体变形的不等价构型由丛映射的局部结构刻画。利用 Cartan 魔公式，我们表明与无穷小变形相关的应变是丛上联络一形式的 Lie 导数，揭示其为 Lie 代数值一形式。扩展 Schaefer 理论，我们沿规定路径对无穷小应变积分导出有限应变。当联络一形式的曲率为零时，该积分与路径无关。路径依赖性标志着拓扑缺陷的存在，非零曲率则被识别为拓扑缺陷的密度。力学应力由虚功原理定义，其中 Lie 代数值应变一形式与对偶 Lie 代数值应力二形式配对以产生标量功体积形式。功形式的 d'Alembert 原理给出平衡定律，其被证明对超弹性 Cosserat 固体可积。简要考察了与活性取向固体相关的可积性破缺。我们的工作阐明了 Cosserat 固体的几何结构，有助于活性取向材料的本构建模，并暗示了保结构积分格式。