Cartan 介质：齐性空间中的几何连续介质力学

我们给出了取值于齐性空间 \mathbb{X} 的场的力学的一种几何表述，该空间由李群 G 可递地作用。这推广了 Cosserat 介质的力学，其中 \mathbb{X} 是欧氏空间的标架丛，G 是特殊欧氏群。运动学由从时空流形到齐性空间的映射描述。该映射在局部由广义应变（表示空间变形）和广义速度（表示时间运动）刻画。它们分别是 G 的李代数中 Maurer-Cartan 一形式的空间和时间分量。Cartan 结构方程给出了广义应变与速度之间的基本运动学关系。动力学由 Lagrange-d'Alembert 原理导出，其中取值于 G 的对偶李代数的广义应力与动量分别同广义应变与速度配对。对于保守系统，动力学可完全通过广义 Euler-Poincare 作用原理表达。该几何表述导出了精确且高效的结构保持积分器用于数值模拟。我们利用我们的表述给出了 Cosserat 固体、曲面与杆的力学的统一描述。我们进一步表明，通过适当选择 \mathbb{X} 和 G，软凝聚态物理及更广范围内的多种系统可理解为被我们暂称为 Cartan 介质的一类材料的实例。