从根系几何推导 KdV 型阶层

对于秩为 2 的每个复半单李代数的根系，以及相关的 2D Toda 链 $E=\{u_{xy}=\exp(K u)\}$，我们计算了 $E$ 上特征方程 $D_y(w)=0$ 的前两个首次积分。利用这些积分，我们重构了分解链对称性的全导数 $(2\times 2)$-矩阵算符 $\square$，并使其与坐标无关。写出涉及算符 $\square$ 的其他分解，我们得到了产生 $\cE$ 的 KdV 型对称阶层的相容哈密顿算符对。在将问题简化为哈密顿情形后，我们计算了李型括号，该括号从算符 $\square$ 像中的对称子换位转移到其定义域上。综上所述，我们描述了 2D Toda 链对称代数的生成元，并推导了其中的所有交换关系，这在此处作为更一般的代数与几何框架的例证。