函数参数置信域与置信带的几何方法

函数数据分析（FDA）现已成为统计学中一门成熟的学科，其核心概念与视角已确立。尽管如此，仍有一些基本统计问题受到的关注相对较少。其中之一便是函数参数置信域的系统化构建。本工作致力于开发、理解与可视化此类置信域。我们提供了一种利用超椭球体和超矩形在可分实希尔伯特空间中构建置信域的一般策略。随后，我们提出了在实践中表现尤为出色的具体实现。它们提供了强大的假设检验和有用的可视化工具，且无需使用任何模拟。我们还展示了一个负面结果，即几乎所有置信域（包括我们自己的）在使用经验协方差时都具有零覆盖率。为克服这一挑战，我们提出了一种评估置信域的新范式，证明了估计区域与目标区域（具有适当覆盖率）之间的距离趋于零的速度快于区域收缩至一个点的速度。我们将此现象称为鬼影，并将经验区域称为鬼影区域。我们在一项模拟研究和一项应用于分数各向异性束轮廓数据的应用中说明了所提出的方法。