具表面张力的欧拉方程自由边界问题中广义的 Beale-Kato-Majda 破裂准则

Ferrari \cite{Ferrari-1993CMP} 证明了若 $[0, T^*)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中有界单连通域内不可压缩欧拉方程光滑解存在的最大时间区间，则 $\int_0^{T^*}\|\omega(t,\cdot)\|_{L^\infty}dt=+\infty$，其中 $\omega$ 为流动的涡量。Ferrari 的结果推广了经典的 Beale-Kato-Majda \cite{BKM-1984CMP} 在有界流体域情形下的破裂准则。本文中，我们给出了描述 $\mathbb{R}^3$ 中有界域内具自由表面边界的不可压缩流体运动的欧拉方程光滑解的破裂准则。该流体受表面张力影响。此外，我们证明了当自由表面边界固定时，我们的破裂准则退化为 Ferrari \cite{Ferrari-1993CMP} 所证者。具体而言，若运动边界上的运动学边界条件退化为滑移边界条件，则对运动边界的附加控制范数将要么变得平凡，要么不再出现。