高维 Bratu 方程的对称有限差分法
数值分析
2025-07-22 v3 数值分析
偏微分方程分析
最优化与控制
斑图形成与孤子
摘要
求解三维（3D）Bratu 方程极具挑战性，因为该方程存在多个锋利解。该方程的研究始于 90 年代，但迄今为止尚无令人满意的解。为此，我们引入对称有限差分法（SFDM），将解的对称性质嵌入有限差分法（FDM）中。该 SFDM 主要用于获得 3D Bratu 方程更精确的解和分叉图。此外，我们提出将 Bratu 方程加入新约束，以便构建分叉图并简化处理转折点的任务。该方法结合稀疏矩阵表示，成功求解了最多 网格点的 3D Bratu 方程。结果表明，SFDM 在 3D Bratu 方程中优于所有以往采用的方法。此外，我们提供 1D、2D、4D 和 5D 情形的分叉图，并准确识别所有维度中的第一个转折点。所有仿真表明，立方域上 Bratu 方程的分叉图与 Joseph 和 Lundgren [1] 描述的球形域上的经典行为高度相似。此外，当 SFDM 应用于线性稳定性分析时，尽管非线性系统中的方程数和变量更少，仍可得到与标准 FDM 相同的最大实特征值。
引用
@article{arxiv.2410.12553,
title = {A finite difference method with symmetry properties for the high-dimensional Bratu equation},
author = {Muhammad Luthfi Shahab and Hadi Susanto and Haralampos Hatzikirou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.12553},
year = {2025}
}
备注
Accepted for publication in Applied Mathematics and Computation