求解带混合边界条件椭圆界面问题的六阶混合有限差分方法

在本文中，我们针对椭圆界面问题 $-\nabla \cdot( a\nabla u)=f$（在 $\Omega\backslash \Gamma$ 中，其中 $\Gamma$ 是 $\Omega$ 内一条光滑界面）发展了六阶混合有限差分方法(FDMs)。变量标量系数 $a>0$ 与源项 $f$ 可能跨 $\Gamma$ 不连续。该混合FDM在网格任意内部正则点采用 $9$ 点紧致模板，在 $\Gamma$ 附近的奇异点采用 $13$ 点模板。对于远离 $\Gamma$ 的内部正则点，我们得到了满足符号与和条件以保证 M-矩阵性质的六阶 $9$ 点紧致FDM。我们还推导了在任意满足（混合）Dirichlet/Neumann/Robin 边界条件的边界点处满足 M-矩阵性质符号与和条件的六阶紧致（$4$ 点用于角点，$6$ 点用于边）FDM。因此，对于无界面的椭圆问题（即 $\Gamma$ 为空），我们的紧致FDM对任意网格尺寸 $h>0$ 均具有 M-矩阵性质，从而满足离散最大值原理，保证了理论的六阶收敛。对于 $\Gamma$ 附近的奇异点，我们提出五阶 $13$ 点FDM，其模板系数可通过递归求解若干小型线性系统有效计算。理论上，所提高阶FDM使用了系数 $a$、源项 $f$、界面曲线 $\Gamma$、沿 $\Gamma$ 的两个跳跃函数以及 $\partial \Omega$ 上函数的高阶（偏）导数。在数值上，我们在混合FDM中始终使用函数值来逼近所有所需高阶（偏）导数而不损失精度。我们的数值实验证实了所提混合FDM对椭圆界面问题在 $l_{\infty}$ 范数下的六阶收敛。