基于点传递或强正则自补图的一类非 Cayley 核

给定具有 $n$ 个顶点的有限简单图 $\Gamma$，其补棱图为由 $\Gamma$ 及其补图 $\bar{\Gamma}$ 通过添加完美匹配得到的图 $\Gamma\bar{\Gamma}$，其中每条边连接 $\Gamma$ 与 $\bar{\Gamma}$ 中同一顶点的两个副本。它推广了取 $\Gamma$ 为五边形时得到的 Petersen 图。对任意图 $\Gamma$ 描述了 $\Gamma\bar{\Gamma}$ 的自同构群。特别地，证明了 $\Gamma\bar{\Gamma}$ 与 $\Gamma$ 的自同构群基数之比只能取 $1$、$2$、$4$ 和 $12$。证明了 $\Gamma\bar{\Gamma}$ 的 Cheeger 数等于 1 或 $1-\frac{1}{n}$，并完全确定了对应的两类图。证明了 $\Gamma\bar{\Gamma}$ 是点传递的当且仅当 $\Gamma$ 是点传递且自补的。在此情形下，当 $n>5$ 时补棱图是哈密顿连通的，且当 $n>1$ 时不是 Cayley 图。主要结果涉及图 $\Gamma\bar{\Gamma}$ 的自同态。证明了当 $\Gamma$ 是强正则且自补时，$\Gamma\bar{\Gamma}$ 是一个核，即其所有自同态均为自同构。对许多点传递自补图也得到了相同结论。特别地，证明了若存在点传递自补图 $\Gamma$ 使得 $\Gamma\bar{\Gamma}$ 不是核，则 $\Gamma$ 既不是核且其核也不是完全图。