一种保持散度的Darcy流切割有限元方法

我们研究基于混合有限元对 $\textbf{RT}_k\times Q_k$（$k\geq 0$）的Darcy界面问题的切割有限元离散。这里 $Q_k$ 是次数不超过 $k$ 的不连续多项式函数空间，$\textbf{RT}$ 是Raviart-Thomas空间。我们指出，切割有限元方法弱形式中常添加的用于稳定性和控制系统矩阵条件数的标准虚单元惩罚稳定化会破坏所考虑元对的无散度性质。因此，我们针对压力提出新的稳定化项，并表明在不失去对线性系统矩阵条件数控制的情况下恢复了散度的最优逼近。我们证明带有新稳定化项的方法对螺线管速度场具有逐点无散度逼近。我们推导了基于 $\textbf{RT}_k\times Q_k$（$k\geq 0$）的所提非拟合有限元离散的先验误差估计。此外，通过将网格分解为宏单元并仅在宏单元的内部边上施加虚单元惩罚项，稳定化被非常限制地且仅在需要处施加。采用元对 $\textbf{RT}_0\times Q_0$、$\textbf{RT}_1\times Q_1$ 和 $\textbf{BDM}_1\times Q_0$（其中 $\textbf{BDM}$ 是Brezzi-Douglas-Marini空间）的数值实验表明我们具有：1）近似速度和压力的最优收敛阶；2）良态线性系统，其系统矩阵条件数随拟合有限元离散的情形缩放；3）近似散度的最优收敛阶以及对螺线管速度场的逐点无散度逼近。这三种性质均独立于界面相对于计算网格的位置。