$\textbf{C}[0, \infty)$ 上 Wiener 测度的直接构造

我们在 $\textbf{C}=\textbf{C}[0, \infty)$ 上构造 Wiener 测度的方法，首先基于下述 (\ref{E1.2}) 处的结构关系，利用某些 $n$ 维正态分布（$n = 1,\ 2,\ldots$）在所有紧集类上定义一个集函数 $\varphi$。该结构关系由第一作者发现，记录于其 2013 年著作第 130 页。然后我们在 $\textbf{C}$ 的子集的 Borel $\sigma$-域上定义测度 $\mu$，此即 Wiener 测度。这是通过对任意实数 $a > 0$ 的 $\textbf{C}_a=\textbf{C}[0, a)$ 上的 Wiener 测度作类似构造完成的。传统方法是先构造布朗运动过程（BMP），然后证明其是到 $(\textbf{C},\ \mathscr{C}_\infty)$ 的可测映射，将 BMP 在 $\textbf{C}$ 上诱导的测度称为 Wiener 测度。本文中我们直接定义 Wiener 测度。