少粒子交换过程的混合时间与独立随机游走的直接比较

我们考虑$n$个顶点的超图上的含$k$个粒子的交换过程（${\rm IP}(k)$），其中每条超边$e$以速率$r_e$鸣响。当$e$鸣响时，占据它的粒子依据某一任意分布的随机置换被置换，我们唯一的假设是${\rm IP}(2)$具有均匀平稳分布。我们证明$t_{\rm mix}^{{\rm IP}(k)}(\epsilon)=O_{b}(t_{\rm mix}^{{\rm IP}(2)}(\epsilon/k))$，其中$t_{\rm mix}^{{\rm IP}(i)}(\epsilon)$为${\rm IP}(i)$的$\epsilon$全变差混合时间，前提是对于某个$b>0$有$kn^{-2}Rt_{\rm mix}^{{\rm IP}(2)}(\epsilon/k)=O((\epsilon/k)^b)$，其中$R=\sum_e r_e|e|(|e|-1)$为平衡态下粒子-粒子相互作用速率的$n(n-1)$倍。这关于Oliveira关于${\rm IP}(k)$的$\epsilon$混合时间与$k$个独立粒子（每个依${\rm IP}(1)$演化，记为${\rm RW}(k)$）比较的猜想，以及Caputo关于${\rm IP}(k)$谱隙与单粒子${\rm IP}(1)={\rm RW}(1)$谱隙比较的猜想在该 regime 下的有效性有一些推论。我们还证明，对于常度顶点传递图以及满足温和（“类暂态”）热核条件的一般图，对所有$k\lesssim n^{1-\Omega(1)}$及所有$\epsilon\le\frac 1k\wedge\frac 14$，有$t_{\rm mix}^{\mathrm{IP}(k)}(\epsilon) \asymp t_{\rm mix}^{{\rm RW}(1)}(\epsilon)\asymp t_{{\rm mix}}^{{\rm RW}(k)}(\epsilon k/4)$。当超边$e$鸣响时其上的粒子被均匀随机置换的情形，我们得到了用${\rm RW}(1)$的谱隙界定${\rm IP}(k)$谱隙的结果。证明未使用Morris的变色龙过程。它可视为一种严谨而直接的论证：当粒子数相当少时，系统行为类似于$k$个独立粒子。