具有平移辛结构的导出方案的'Darboux 定理’

我们证明了 Pantev、Toen、Vaquie 和 Vezzosi (arXiv:1111.3209) 意义下，具有次数 $k<0$ 辛形式的导出方案的'Darboux 定理’。更确切地说，我们表明具有次数 $k$ 辛形式 $\omega$ 的导出方案 $X$ 局部等价于 (Spec $A,\omega'$)，其中 Spec $A$ 是一个仿射导出方案，其 cdga $A$ 具有 Darboux 型坐标，使得辛形式 $\omega'$ 为标准形式，且 $A$ 中的微分由 $A$ 中次数为 $k+1$ 的 Hamilton 函数 $H$ 的 Poisson 括号给出。当 $k=-1$ 时，这意味着 $-1$-平移辛导出方案 $(X,\omega)$ 在 Zariski 拓扑下局部等价于光滑方案 $U$ 上正则函数 $H:U\to{\mathbb A}^1$ 的导出临界 locus Crit$(H)$。我们利用这一结果证明，$X$ 的基础经典方案具有 Joyce (arXiv:1304.4508) 意义下的'代数 d-临界 locus'结构。在后续论文 arXiv:1211.3259, arXiv:1305.6428, arXiv:1312.0090, arXiv:1504.00690, 1506.04024 中，我们将讨论这些结果在 Calabi-Yau 3-流的范畴化和 motivic Donaldson-Thomas 理论中的应用，在定义 Calabi-Yau 4-流的新 Donaldson-Thomas 型不变量中的应用，以及利用 perverse sheaves 定义代数辛流形中 Lagrangian 的'Fukaya 范畴’；我们还将把本文及 arXiv:1211.3259, arXiv:1305.6428 的结果从（导出）方案推广到（导出）Artin 栈，并给出 $k$-平移辛导出方案中 Lagrangian 的局部描述。Bouaziz 和 Grojnowski (arXiv:1309.2197) 独立证明了一个类似的'Darboux 定理’。