与 Busemann 随机单纯形不等式及 Petty 猜想相关的凸体

给定凸体 $L$，$L_p$-Busemann 随机单纯形不等式在 $p=1$ 和 $2$ 时与质心体 $\Gamma_p L$ 密切相关，且仅在这些情形下可借助 $L_p$-Busemann-Petty 质心不等式证明。我们定义凸体 $N_p L$ 并证明关于 $(N_p L)^\circ$ 的一个等周不等式，其等价于 $L_p$-Busemann 随机单纯形不等式。作为应用，我们给出了 Busemann 随机单纯形不等式一般函数型的一个简洁证明，并研究了与 Petty 猜想不等式相关的对偶理论。更确切地说，我们利用 $p$-仿射表面积测度证明了集合与函数的 $L_p$-Busemann 随机单纯形不等式的对偶版本，并证明 Petty 猜想等价于一个 $L_1$-Sharp 仿射 Sobolev 型不等式，该不等式强于（且直接推出）Sobolev-Zhang 不等式。