计算多项式与有理极小极大逼近的 Lawson 迭代法的收敛性分析

Lawson 迭代是求解复平面上线性(多项式)极小极大逼近问题的一种经典且有效的方法。将 Lawson 迭代扩展到具有高计算效率和理论保证的有理极小极大逼近问题具有挑战性。近期的一项工作 [L.-H. Zhang, L. Yang, W. H. Yang and Y.-N. Zhang, A convex dual problem for the rational minimax approximation and Lawson's iteration, Math. Comp., 94(2025), 2457-2494.] 揭示了 Lawson 迭代可被视为求解原有理极小极大逼近问题对偶问题的方法,并提出了一种新型的 Lawson 迭代,即 d-Lawson,它在处理线性极小极大逼近问题时退化为经典的 Lawson 迭代。对于有理情形,在 Ruttan 充分条件下,该对偶问题保证能获得原始极小极大解,并且在数值实验中观察到 d-Lawson 相对于对偶目标函数单调收敛。在本文中,我们针对线性和有理极小极大逼近问题给出了 d-Lawson 的理论收敛性分析。特别地,我们证明: 对于线性极小极大逼近问题,$\beta=1$ 是 Lawson 迭代中近最优的 Lawson 指数; 对于有理极小极大逼近问题,在一定条件下,当 $\beta>0$ 足够小时,d-Lawson 相对于对偶目标函数单调收敛,且极限逼近元满足互补松弛条件: 任何与正权重相关联的节点要么是插值点,要么具有常数误差。