对称化鲁棒 Procrustes：常数因子近似与精确恢复

经典的 $\textit{Procrustes}$ 问题是寻找一个刚体运动（正交变换与平移），以最小二乘意义最佳对齐两个给定点集。$\textit{Robust Procrustes}$（鲁棒 Procrustes）问题是一个重要变体，其中使用幂-1 目标代替最小二乘以提高对离群点的鲁棒性。尽管最小二乘问题的最优解可轻易以闭式计算（可追溯至 Sch"onemann (1966)），但幂-1 问题尚无此类解。本文针对鲁棒 Procrustes 问题提出一种新颖的凸松弛。我们的松弛在理论与实践中均具优势：理论上，我们证明该方法对鲁棒 Procrustes 问题提供 $\sqrt{2}$ 因子近似，且在适当假设下能从受离群点污染的点对应中精确恢复真实刚体运动。实践中，我们在合成与真实鲁棒 Procrustes 问题的数值实验中发现，该方法表现与标准迭代重加权最小二乘（IRLS）相似。然而我们算法的凸性允许引入额外的凸惩罚项，而这不易用于 IRLS。这被证明是显著优势，在高维问题（包括非刚体形状对齐与半监督跨语言词翻译）中带来改进结果。