基于广义幂方法的广义正交普氏问题近最优界
信息论
2021-12-28 v1 math.IT
最优化与控制
摘要
给定多个点云，如何找到刚性变换（旋转、反射和平移）使得这些点云良好对齐？这一被称为广义正交普氏问题（GOPP）的问题在统计学、计算机视觉和成像科学中有大量应用。虽然一种常用方法是求最小二乘估计量，但由于 notorious 的非凸性，精确获得最小二乘估计量通常是 NP 难问题。在本工作中，我们应用半定规划（SDP）松弛和广义幂方法来求解该广义正交普氏问题。具体而言，我们假设数据由信号加噪声模型生成：每个观测点云是同一未知点云经未知正交矩阵变换后的含噪副本，并受到加性高斯噪声污染。我们证明，在信噪比足够高时，具有谱初始化的广义幂方法（等价于交替最小化算法）收敛到 SDP 松弛的唯一全局最优解。此外，该极限点恰为最小二乘估计量，也是最大似然估计量。我们还推导了每个正交矩阵及底层点云的块级估计误差。我们的理论界在信息论极限意义下是近最优的（仅宽松了维度因子和一个对数因子）。我们的结果显著改进了广义正交普氏问题 SDP 松弛紧性的最优已知结果，这是 Bandeira、Khoo 和 Singer 于 2014 年提出的开放问题。
引用
@article{arxiv.2112.13725,
title = {Near-Optimal Bounds for Generalized Orthogonal Procrustes Problem via Generalized Power Method},
author = {Shuyang Ling},
journal= {arXiv preprint arXiv:2112.13725},
year = {2021}
}