具有对称性的 Procrustes 匹配精确恢复

Procrustes 匹配（PM）问题是指寻找两个点集的最优刚性运动与标记，使它们尽可能接近。刚性与非刚性形状匹配问题均可表述为 PM 问题。最近，[Maron 等人] 提出了一种新颖的凸半定规划松弛（PM-SDP），在常见形状匹配基准上取得了当前最优结果。本文分析了 PM-SDP 在求解无噪声 PM 问题（精确 PM 问题）时的成功性。我们首先证明精确 PM 在计算上等价于图同构问题。我们展示了该松弛的一些自然理论性质，并利用这些性质结合 [Lasserre] 的矩解释，证明对于精确 PM 问题以及（一般的）非对称或双侧对称的输入形状，该松弛返回 PM 的正确解。对于对称形状，PM 有多个解。PM 最优解的非凸集严格包含于 PM-SDP 最优解的凸集中，因此 PM-SDP 的“大多数”解不会是 PM 的解。我们通过证明 PM 的解集是 PM-SDP 解集的极点来处理这一问题，并提出一种随机算法，该算法以概率 1 返回 PM 的一个解，并以等概率返回 PM 的所有解。我们还证明这些结果可推广到几乎精确的情形。据我们所知，我们的工作是首次在存在多个解的情况下实现精确恢复。