双随机松弛下具有对称性的精确恢复

图匹配或二次分配问题，是为两个图的顶点赋予标签以使它们尽可能相似的问题。近似求解 NP 难图匹配问题的一种常用方法是将其松弛为双随机 (DS) 矩阵集合上的凸优化问题。近期分析表明，对于几乎所有同构且非对称的图对，DS 松弛能成功恢复图之间的同构。本文的目标是分析对称同构图的情形。这一目标由形状匹配应用所驱动，其中感兴趣的图通常具有反射对称性。对于对称问题，图匹配问题有多个同构，因此凸松弛允许这些同构的所有凸组合作为可行解。如果凸松弛不引入任何额外的多余解，我们称其为凸精确的。在此情形下，存在易于处理的算法从凸松弛中恢复一个同构。我们证明凸精确性强烈依赖于图的对称群；对于固定的对称群 $G$，要么 DS 松弛对几乎所有具有对称群 $G$ 的同构图对是凸精确的，要么 DS 松弛对所有此类图对都失败。我们证明对于至少有一个完整轨道的反射群，凸精确性几乎处处成立，并提供了一些凸精确性总是失败的非反射对称群的简单例子。当凸精确性成立时，图的同构是凸解集的极点。我们建议了一种在此情形下恢复同构的高效算法。我们还证明“凸到凹”投影方法在此情形下也能恢复同构。