$K(m,m)$ 型非可积紧子方程的完整守恒律列表

1993 年，P. Rosenau 和 J. M. Hyman 引入并研究了具有非线性色散且允许紧子解的类 Korteweg-de-Vries 方程，$u_t+D_x^3(u^n)+D_x(u^m)=0$, $m,n>1$，即所谓的 $K(m,n)$ 方程。在本文中，我们考虑 $m=n$ 时 $K(m,n)$ 方程的一个略微推广版本，即 $u_t=aD_x^3(u^m)+bD_x(u^m)$，其中 $m,a,b$ 为任意实数。我们描述了当 $m\neq -2,-1/2,0,1$ 时该方程的所有广义对称性和守恒律；对于这四个特殊的 $m$ 值，所讨论的方程要么是完全可积的（$m=-2,-1/2$），要么是线性的（$m=1$），要么是平庸的（$m=0$）。结果表明，当 $m\neq -2,-1/2,0,1$ 时，仅存在对应于 $x$ 平移、$t$ 平移以及 $t$ 和 $u$ 缩放的三个对称性，以及四个非平庸守恒律，其中一个表示能量守恒，另外三个与我们的方程所允许的 Hamilton 算子 $\mathfrak{D}=aD_x^3+bD_x$ 的 Casimir 泛函相关。我们的结果之一，严格证明了 K(2,2) 方程恰好具有 P. Rosenau 和 J. M. Hyman 所发现的四个守恒律这一事实。