从 $\overline{\mathbb Q}^\times/\overline{\mathbb Q}^\times_{\mathrm{tors}}$ 到 $\mathbb R$ 的 $\mathbb Q$-线性映射的分类

Allcock 和 Vaaler 2009 年的文章探讨了 $\mathbb Q$-向量空间 $\mathcal G := \overline{\mathbb Q}^\times/{\overline{\mathbb Q}^\times_{\mathrm{tors}}}$，展示了如何将其表示为 $\overline{\mathbb Q}$ 的位点上的函数空间的一部分。我们建立了从 $\mathcal G$ 到 $\mathbb R$ 的 $\mathbb R$-向量空间中 $\mathbb Q$-线性映射的表示定理，从而能够对完全加性算术函数到 $\mathcal G$ 的扩张进行分类。我们进一步概述了从 $\mathcal G$ 到 $\mathbb Q$ 构造 $\mathbb Q$-线性映射的策略，即 $\mathcal G$ 的代数对偶中的元素。我们的结果大量使用了 Dirichlet 的 $S$-单位定理以及作者先前工作中引入的一种称为一致映射（consistent map）的类测度对象。