平面机械臂构型空间的分类及其在连续逆运动学问题中的应用

利用关于多边形模空间拓扑的结果 [Jaggi, 92; Kapovich and Millson, 94] 可以证明，对于具有 $n$ 个段的平面机械臂，存在某些基长 $z$ 值，使得受约束机械臂（末端执行器固定）的构型空间具有两个不连通的分量，而在其他值下，受约束构型空间则具有一个连通分量。我们首先回顾了一些这些已知结果。随后，本文解决的主要设计问题是为一任意机械臂构造一对连续逆运动学，其性质是：当受约束构型空间具有单个连通分量时，这两个逆运动学一致；而当受约束机械臂的构型空间具有两个分量时，它们给出不同的构型（每个连通分量中各一个）。这一设计得益于本文的一项基础理论贡献——对机械臂构型空间的分类，使得系统（机械臂）通过正向运动学函数某些临界值的路径类型完全由机械臂构型空间所属的类别决定。这一分类结果使得上述设计问题变得可处理，只需为每类构型空间（总共三类）设计一对逆运动学即可。我们讨论了这项工作的动机，它源于一个更广泛的问题，即机械臂末端执行器的运动规划，要求我们从受约束构型空间的每个连通分量中连续采样一个构型。我们通过一个基于 Javascript + HTML5 的实现展示了所提出算法的低复杂度，该实现可在 http://hans.math.upenn.edu/~subhrabh/nowiki/robot_arm_JS-HTML5/arm.html 获取。