一阶形式爱因斯坦-希尔伯特作用量的正则分析

利用Dirac约束形式，我们考察了爱因斯坦-希尔伯特作用量 $S_d = \frac{1}{16\pi G} \int d^dx \sqrt{-g} R$ 的正则结构，将度规 $g_{\alpha\beta}$ 和对称仿射联络 $\Gamma_{\mu\nu}^\lambda$ 视为独立变量。对于 $d > 2$，三级约束自然出现；如果这些约束都是第一类的，则相空间中有 $d(d-3)$ 个独立变量，这与对称张量规范场 $\phi_{\mu\nu}$ 所具有的变量数相同。若 $d = 2$，哈密顿量成为满足SO(2,1)代数的第一类约束的线性组合。这些约束确保了不存在独立的自由度。当 $d = 2$ 时，与第一类约束相关的变换不是微分同胚；它由一个对称矩阵 $\xi_{\mu\nu}$ 表征。我们还证明了，当 $d = 2$ 时，如果使用 $h^{\alpha\beta} = \sqrt{-g} g^{\alpha\beta}$ 代替 $g^{\alpha\beta}$ 作为动力学变量，正则分析是不同的，因为在 $d$ 维中，$\det h^{\alpha\beta} = - (\sqrt{-g})^{d-2}$。通过将这种方法应用于以 $h^{\alpha\beta}$ 和 $\Gamma_{\mu\nu}^\lambda$ 为独立变量的二维情况，与ADM分析一阶形式爱因斯坦-希尔伯特作用量所用的形式进行了比较。