Lorenz 吸引子的一个 $C^r$ 连接引理及其在遍历测度空间上的应用

对每个 $r\in\mathbb{N}_{\geq 2}\cup\{\infty\}$，我们证明 Lorenz 吸引子的一个 $C^r$ 连接引理。确切地说，对于 $3$ 维 $C^r$（$r\geq 2$）向量场的 Lorenz 吸引子，可通过任意小的 $C^r$ 扰动产生一条关联奇点与临界元的异宿轨道。作为一个应用，我们证明对 $C^r$ 稠密的几何 Lorenz 吸引子，奇点的 Dirac 测度在遍历测度空间内是孤立的，从而遍历测度空间不连通；而对 $C^r$ 一般的几何 Lorenz 吸引子，遍历测度空间以稠密周期测度路径连通。特别地，一般情形部分证明了 C. Bonatti 在 $C^r$ 拓扑下针对 Lorenz 吸引子提出的一个猜想。