统一预覆盖构造的 2-范畴方法及其应用

在本文中，$G$ 是一个固定的群，$k$ 是一个固定的域。所有范畴均假定为 $k$-线性的。首先，我们给出了一种利用 2-范畴机制通过伴随函子诱导 $G$-预覆盖的系统方法，该方法统一了许多类似的 $G$-预覆盖构造。现设 $\mathcal{C}$ 为一个具有 $G$ 作用的小范畴，$\mathcal{C}/G$ 为 $\mathcal{C}$ 的轨道范畴，$(P, \phi) : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}/G$ 为典范 $G$-覆盖，且 $\mathrm{mod}\mbox{-} \mathcal{C}$、$\mathrm{mod}\mbox{-} (\mathcal{C}/G)$ 分别为 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{C}/G$ 上的有限生成模范畴。则已知存在一个典范 $G$-预覆盖 $(P., \phi.) : \mathrm{mod}\mbox{-} \mathcal{C} \rightarrow \mathrm{mod}\mbox{-} (\mathcal{C}/G)$。通过将上述机制应用于此 $(P., \phi.)$，在 $\mathrm{mod}\mbox{-} \mathcal{C}$ 和 $\mathrm{mod}\mbox{-} \mathcal{C}/G$ 的商范畴或局部化之间诱导出了新的 $G$-预覆盖 $(\mathrm{mod}\mbox{-} \mathcal{C}) / S \rightarrow (\mathrm{mod}\mbox{-} \mathcal{C}/G)/S'$。这进一步被应用于 $\mathrm{mod}\mbox{-} \mathcal{C}$ 的态射范畴 $\mathrm{H}(\mathrm{mod}\mbox{-} \mathcal{C})$，从而在 $\mathrm{mod}\mbox{-}\mathcal{C}$ 和 $\mathrm{mod}\mbox{-} \mathcal{C}/G$ 的合适子范畴 $\mathcal{K}$ 和 $\mathcal{K}'$ 上的有限表示模范畴之间得到了一个 $G$-预覆盖 $\mathrm{fp}(\mathcal{K}) \rightarrow \mathrm{fp}(\mathcal{K}')$。