缺陷群为同环群且惯性商含 Singer 圈的 $2$-块

我们考虑有限群的一个块 $B$,其缺陷群 $D \cong (C_{2^m})^n$,惯性商 $\mathbb{E}$ 含有一个 Singer 圈(阶为 $2^n-1$ 的元素)。这意味着 $\mathbb{E} = E \rtimes F$,其中 $E \cong C_{2^n-1}$,$F \leq C_n$,且 $E$ 在 $D$ 中阶为 $2$ 的元素上传递作用,并在 $D \backslash \{1\}$ 上自由作用。我们在完备离散赋值环 $\mathcal{O}$ 上分类了 $B$ 的基本 Morita 等价类:当 $m=1$ 时,$B$ 基本 Morita 等价于 $SL_2(2^n) \rtimes F$、$D \rtimes \mathbb{E}$ 或 $J_1$(其中 $J_1$ 仅当 $n=3$ 时出现)的主块之一。当 $m>1$ 时,$B$ 基本 Morita 等价于 $D \rtimes \mathbb{E}$。