二项式多项式的绝对不可约性

本文研究二项式多项式 $\binom{x}{n} = \frac{x(x-1)\cdots (x-n+1)}{n!}$ 及其幂在整值多项式环 $\operatorname{Int}(\mathbb{Z})$ 中的因式分解性质。尽管已知二项式多项式在 $\operatorname{Int}(\mathbb{Z})$ 中是不可约元，其幂的因式分解性质尚未被完全理解。我们填补这一空白并证明二项式多项式在 $\operatorname{Int}(\mathbb{Z})$ 中是绝对不可约的，即对所有 $m\in \mathbb{N}$，$\binom{x}{n}^m$ 在 $\operatorname{Int}(\mathbb{Z})$ 中唯一分解为不可约元。通过将问题重新表述为线性代数与数论问题，我们证明该问题可归约为确定我们称之为 $n$ 的赋值矩阵的秩。计算此秩的一个主要依据是如下数论结果（我们也给出了证明）：若 $n>10$ 且 $n$, $n-1$, \ldots, $n-(k-1)$ 均为合数，则存在素数 $p > 2k$ 整除其中之一。