等周不等式与粗糙路径正则性

随机过程的最优样本路径性质通常涉及广义 H"{o}lder 范数或变差范数。遵循 Taylor 的经典结果，布朗运动的精确变差在 $0+$ 附近由 $\psi (x) \equiv$ $x^{2}/\log \log (1/x)$ 度量。此类 $\psi$-变差结果可推广至取值于抽象度量空间的过程类（无需假设高斯性或马尔可夫性）。为建立 $\psi$-变差的可积性性质，我们转向一大类高斯粗糙路径（例如视为李群中过程的布朗运动及其 L\'{e}vy 面积），并利用抽象 Wiener 空间上的 Borell 不等式证明其高斯可积性性质。此类结果的意义在于，它们与粗糙路径理论相容，并产生了某些尖锐的正则性和可积性性质（例如针对迭代 Stratonovich 积分），而这些性质若通过其他途径难以获得。最后，$\psi$-变差被确定为超越半鞅的（随机）粗糙微分方程解的稳健正则性性质。