非闭域上的代数级数与赋值环

假设 $k$ 是任意域。考虑域 $k((x_1,...,x_n))$，它是变量 $x_1,...,x_n$ 中系数在 $k$ 内的形式幂级数环 $k[[x_1,...,x_n]]$ 的分式域。假设 $\sigma$ 是 $x_1,...,x_n$ 中系数在 $k$ 的代数闭包内的形式幂级数。我们给出了 $\sigma$ 在 $k((x_1,...,x_n))$ 上为代数的一个非常简单的充要条件。作为我们方法的一个应用，我们刻画了支配二维优秀 Noetherian 局部整环 $R$ 的赋值环 $V$，且在过渡到 $R$ 的双有理扩张的完备化后秩增加。