稀疏图中的圈长

令 $C(G)$ 表示图 $G$ 中圈长的集合。在本文第一部分中，我们研究了在所有平均度为 $d$ 且围长为 $g$ 的图 $G$ 中，$|C(G)|$ 的最小可能值。Erdos 猜想对于所有此类图均有 $|C(G)| =\Omega(d^{\lfloor (g-1)/2\rfloor})$，我们证明了该猜想。特别地，平均度为 $d$ 且围长为 $g$ 的图中，最长圈的长度为 $\Omega(d^{\lfloor (g-1)/2\rfloor})$。对该问题的研究由 Ore 于 1967 年发起，我们的结果改进了此前关于最长圈长度的所有已知下界。此外，我们的界在一般情况下无法再改进，因为已知的围长为 $g$ 的 $d$-正则 Moore 图的构造恰好具有大致相同数量的顶点。我们还证明了 $\Omega(d^{\lfloor (g-1)/2\rfloor})$ 是色数为 $d$ 且围长为 $g$ 的图中奇圈长度数量的下界。针对平均度为 $d$ 的 $H$-免图，我们也获得了关于圈长数量的进一步结果。在本文第二部分中，受 Erdos 和 Gyarfas 猜想的启发（即每个最小度至少为三的图都包含一个长度为 2 的幂的圈），我们证明了一个一般性定理，给出了不含 prescribed 无限整数序列中偶数长度圈的 $n$ 顶点图的平均度上界。对于包括 2 的幂在内的许多序列，我们的定理给出了不含该序列中长度的圈的 $n$ 阶图的平均度上界 $e^{O(\log^* n)}$，其中 $\log^* n$ 是将二元对数应用于 $n$ 直至得到不超过某数所需的次数。