巨分支问题的新方法

我们研究具有给定度序列的 $n$ 个顶点上的随机（多重）图的最大分支。令 $n$ 趋于无穷大。随后，在度序列满足某些正则性条件下，我们给出了度序列渐近形状的条件，这些条件意味着以高概率所有分支都很小；以及其他条件，意味着以高概率存在一个巨分支，且其顶点集和边集的大小满足大数定律；在适当假设下，仅有这两种可能性。特别地，我们恢复了 Molloy 和 Reed 关于给定度序列随机图中最大分支大小的结果。我们进一步获得了阈值上方巨分支的一个新的尖锐结果，推广了 $G(n,p)$ 中 $np=1+\omega(n)n^{-1/3}$ 的情形，其中 $\omega(n)$ 以任意缓慢的速度趋于无穷大。我们的方法基于独立随机变量经验分布的性质，并导出了简洁的证明。